В настоящее время теория абсолютной устойчивости достигла высокой степени развития. Классические результаты, связанные с анализом динамических систем с единственным нелинейным элементом, распространены на более сложные системы, описываемые интегральными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных и т.д. Настоящая монография посвящена другому направлению, еще недостаточно разработанному, связанному с усилением результатов теории в первоначальной постановке задачи. Усиление понимается как расширение области устойчивости в пространстве параметров по сравнению с классическими результатами. В данной работе усиление классических результатов достигается за счет применения метода нелинейного (степенного) преобразования вектора состояния, причем наибольшее внимание уделяется квадратичному преобразованию. Значительное место уделено также анализу нетривиальных необходимых условий устойчивости с помощью метода гармонического баланса. Известно, что в системе второго или третьего порядка с нестационарной нелинейностью границей между устойчивыми и неустойчивыми движениями является простой периодический режим. Для такой системы метод гармонического баланса дает не только необходимые, но и достаточные условия устойчивости; возможно, что это свойство переносится и на системы высокого порядка, но этот вопрос пока остается открытым. В заключительной главе книги представлены оценки переходных процессов в абсолютно устойчивых системах.
Книга предназначена для научных работников, преподавателей высшей школы, аспирантов и студентов, интересующихся теорией автоматического управления.
Предисловие
На первый взгляд задача об абсолютной устойчивости имеет частный вид, а ее применимость ограничена узкими рамками некоторого класса систем автоматического регулирования. Тем не менее этой задаче посвящены сотни публикаций в виде книг и статей в научных журналах всего мира. В чем заключается причина такой широкой популярности? Дело не только в удивительном сочетании практически важной технической проблемы со строгостью и элегантностью математического решения, которое выражено к тому же простым языком, понятным практику. Важную роль сыграло также то обстоятельство, что здесь впервые для решения нелинейной задачи был использован частотный метод, применявшийся прежде к линейным системам. С задачи об абсолютной устойчивости началось широкое проникновение частотных методов в анализ нелинейных систем различной природы.
История вопроса и постановка проблемы подробно описаны в [1]. Задача об абсолютной устойчивости была поставлена в 1944 г. известным ленинградским механиком А. И. Лурье и его учеником В. Н. Постниковым [32]. Для ее решения они использовали функцию Ляпунова вида "квадратичная форма от координат плюс интеграл от нелинейности". В книге А.И. Лурье [31] проблема сводилась к анализу системы квадратных уравнений, названных разрешающими. Было показано, что для устойчивости системы автоматического управления достаточно, чтобы уравнения Лурье имели действительное решение. Выяснилось, однако, что в такой форме задача решается только для систем невысокого порядка. Это создавало впечатление тупика и привело к снижению интереса исследователей.
Новый подход к абсолютной устойчивости связан с именем румынского ученого Василе-Михая Попова. Его статья на русском языке появилась в начале шестидесятых годов прошлого века [39]. Используя метод априорных интегральных оценок, В.-М. Попов получил решение в виде некоторого неравенства, наложенного на частотную характеристику линейной части системы (частотный критерий абсолютной устойчивости). Частотный критерий очень прост по форме, допускает геометрическую интерпретацию и эффективно проверяется. Сильное впечатление, произведенное работами В.-М. Попова, имело результатом лавинообразный рост числа статей, посвященных обобщению нового подхода и его распространению на новые типы систем. Путем некоторых изменений в постановке основной задачи удалось исследовать на абсолютную устойчивость дискретные системы, а также системы, описываемые уравнениями в свертках, системы с запаздыванием и т. д. (см. обзорные работы [44, 30]).
Предлагаемая книга посвящена другому направлению, связанному с усилением результатов теории в первоначальной постановке задачи. Усиление понимается как расширение области устойчивости в пространстве параметров по сравнению с классическими результатами. Вообще говоря, такое усиление возможно, поскольку классические условия устойчивости являются только достаточными. Публикаций по этому направлению немного. В этой книге усиление классических результатов достигается за счет применения метода нелинейного (степенного) преобразования вектора состояния, причем наибольшее внимание уделяется квадратичному преобразованию.
Значительное место уделено также анализу нетривиальных необходимых условий устойчивости с помощью метода гармонического баланса. Известно, что в системе второго или третьего порядка с нестационарной нелинейностью границей между устойчивыми и неустойчивыми движениями является простой периодический режим. Для такой системы метод гармонического баланса дает не только необходимые, но и достаточные условия устойчивости. Возможно, что это свойство переносится и на системы высокого порядка, но этот вопрос пока остается открытым.
В последней главе представлены оценки переходных процессов в абсолютно устойчивых системах.
Книга не претендует на полноту охвата всех направлений, появившихся в связи с задачей абсолютной устойчивости. Большая часть книги основана на моих статьях, что, разумеется, сужает ее тематику. Обозначения не отличаются от общепринятых. Нумерация формул, теорем, определений и примеров -- сквозная внутри глав. Доказательства теорем заканчиваются значком.
С огромной благодарностью я вспоминаю беседы с основоположниками этой отрасли науки Е. С. Пятницким и В. А. Якубовичем, оказавшим огромное влияние на мое поколение исследователей и на меня лично. Благодарю также всех, кто так или иначе помогал мне в работе.
Издание: обложка.
Параметры: формат: 60x90/16, 176 стр.
