Авторы настоящего пособия ставят своей целью помочь студентам в их самостоятельной работе при решении задач по курсу функционального анализа. В книге даны основные топологические понятия, изложена теория линейных операторов в нормированных пространствах. Описаны основные классы абстрактных пространств --- метрические, топологические, нормированные и гильбертовы. Приводятся решения задач различной степени трудности, иллюстрирующих основные методы функционального анализа; в конце каждого параграфа помещены задачи для самостоятельной работы.
Пособие предназначено для студентов университетов, обучающихся по специальностям "Математика" и "Прикладная математика", может быть также полезно преподавателям.
Введение
Каждая решенная мною задача становилась образцом,
который служил впоследствии для решения других задач.
Рене Декарт
Курс функционального анализа, изучаемый студентами специальностей "Математика" и "Прикладная математика" в университетах, а также в некоторых технических вузах, относится к одному из наиболее абстрактных и поэтому довольно трудному курсу. Абстрактность позволяет исследовать далекие, на первый взгляд, друг от друга вопросы. Сегодня концепции функционального анализа и его аппарат пронизывают почти все области математики (а также ряд смежных дисциплин, например: гидромеханику, статистическую физику, квантовую механику, квантовую теорию поля), объединяя их в единое целое. Поэтому необходимо научить студентов активно применять методы и принципы функционального анализа, а также освоить методику решения соответствующих задач.
На практические занятия по этому курсу выделяется очень мало времени. Студенты не успевают выработать и закрепить необходимые навыки при решении стандартных (и, тем более, нестандартных) задач. Поэтому желающий овладеть ими должен много заниматься самостоятельно (особенно это касается студентов-заочников). В математике одним из лучших способов глубокого усвоения предмета является решение задач, где используются изучаемые теоретические сведения. К сожалению, достаточно полных сборников задач по функциональному анализу, отвечающих программе этого курса, в настоящее время нет. Еще более остро ощущается нехватка пособий, способных помочь студенту в его самостоятельной работе. Предлагаемая книга ставит своей целью восполнить эти пробелы.
Структура пособия такова. Каждый параграф начинается с изложения основных понятий и теоретических сведений. Это связано с тем, что в литературе имеются некоторые различия в терминологии, в системе основных понятий, а также в схемах построения разделов функционального анализа. Мы считаем, что предлагаемое изложение будет полезным и удобным для читателя. В каждом параграфе решается достаточное число примеров и задач, иллюстрирующих основные методы функционального анализа. В конце параграфа приведены задачи для самостоятельной работы.
В гл.1 дано построение меры и интеграла Лебега. На конкретном материале рассматриваются основные топологические понятия, изучаемые более абстрактно в остальных главах. Речь идет о свойствах и структуре открытых и замкнутых множеств в Rn, различных типах сходимостей функциональных последовательностей, полноте лебеговых пространств, преобразовании Фурье в пространствах интегрируемых функций и др. Рассматриваются операции интегрирования и дифференцирования на отрезке числовой оси.
В гл.2 изучаются основные классы абстрактных пространств: метрические, линейные топологические, нормированные и гильбертовы.
В гл.3 приведена теория линейных операторов в нормированных пространствах, которая составляет основу функционального анализа.
Издание: обложка.
Параметры: формат: 60x90/16, 480 стр.
