В предлагаемой читателю книге освещается теория спиноров, которая, c точки зрения автора, есть в первую очередь теория линейного представления клиффордовой алгебры и лишь в частности --- линейного представления группы вращений. В работе подробно рассматривается геометризированная клиффордова алгебра в многомерном комплексном евклидовом пространстве; доказывается основная теорема о линейном представлении клиффордовой алгебры, в связи с чем возникает понятие о спинорном пространстве; рассматриваются фундаментальные спинтензоры, возникающие в спинорном пространстве в связи с фундаментальными автоморфизмами в клиффордовой алгебре; устанавливается связь со спинорным аппаратом физики. Изложение материала носит геометризированный характер с упором на инвариантные свойства спинорного пространства.
Книга будет полезна математикам и физикам-теоретикам, желающим углубленно изучить спинорный аппарат физики, а также студентам естественных факультетов вузов.
Предисловие
Теория спиноров, особенно многомерных, слабо представлена в нашей математической литературе. Предлагаемая статья имеет целью в некоторой мере заполнить этот пробел.
С нашей точки зрения теория спиноров есть в первую очередь теория линейного представления клиффордовой алгебры и лишь в частности -- линейного представления группы вращений. Изложение построено сообразно этому принципу. Сначала подробно рассматривается геометризированная клиффордова алгебра в многомерном комплексном евклидовом пространстве Rn+ (§§ 1--8), в частности, вращения в Rn+ с точки зрения клиффордовой алгебры (§ 6). Далее доказывается основная теорема о линейном представлении клиффордовой алгебры, в связи с чем возникает понятие о спинорном пространстве (§§ 9--12). Рассматриваются фундаментальные спинтензоры, возникающие в спинорном пространстве в связи с фундаментальными автоморфизмами в клиффордовой алгебре (§§ 13--16), а также спинорное представление вращений в Rn+ (§§ 17--19). Затем в Rn+ выделяется вещественное евклидово или псевдоевклидово пространство Rn(s) той или иной сигнатуры и предыдущие построения специализируются и дополняются для него (§§ 20--26). Устанавливается связь со спинорным аппаратом физики (§ 25). Наконец, в § 27 выводятся в n-мерном случае некоторые более тонкие свойства фундаментальных спинтензоров, ранее доказанные лишь для случаев n = 2,4, а в § 28 показано, как теория спиноров в нечетномерном случае сводится в известном смысле к четномерному случаю (которым мы занимаемся до этого момента).
Изложение носит геометризированный характер с упором на инвариантные свойства спинорного пространства. С этой точки зрения предлагаемая статья, возможно, будет полезна и для физиков-теоретиков, желающих углубленно изучить спинорный аппарат физики. Действительно, в руководствах по квантовой механике, в том числе и весьма квалифицированных, мы постоянно сталкиваемся с тем, что усиленно подчеркиваются неинвариантные, а значит, и не имеющие физического смысла свойства рассматриваемых "матриц", в то время как их инвариантные свойства выявляются недостаточно. Причина лежит в том, что в изложении физиков под безличным псевдонимом "матриц" скрываются весьма различные по своей природе спинтензоры, свойства которых почти полностью остаются в тени. Еще более нежелательно то, что соотношения между спинорными величинами нередко записываются в неинвариантном виде, что, конечно, не способствует выявлению их физического смысла.
Мы пытались в нашем изложении установить прямую связь со спинорным аппаратом физики и раскрыть инвариантный смысл обычно используемых в нем величин. В связи с этим пространству специальной теории относительности уделено большое внимание, и все полученные общие результаты особо рассматриваются для этого случая. Впрочем, и помимо этого мы всегда старались иллюстрировать общие результаты на простых частных случаях.
Предполагается, что читатель знаком с линейной алгеброй, умеет производить выкладки с матрицами, а также владеет основами тензорной алгебры. В тексте даны соответствующие литературные указания. Других специальных знаний не требуется.
Издание: обложка.
Параметры: формат: 60x90/16, 112 стр.
