Настоящая книга содержит краткое изложение основных результатов тензорной алгебры, тензорного анализа и римановой геометрии. Она написана на основе лекций, прочитанных автором студентам Московского физико-технического института. Для понимания материала книги достаточно знаний по математическому анализу, линейной алгебре и теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме общевузовских программ.
Книга предназначена для студентов математических, физических и инженерных специальностей, а также научных работников.
Предисловие
В настоящее время имеется много прекрасных книг, посвященных современной дифференциальной геометрии. Особенно мы рекомендуем книгу "Современная геометрия. Методы и приложения" (М.: URSS, 2000--2001) Б.А.Дубровина, С.П.Новикова и А.Т.Фоменко и серию книг М.М.Постникова "Лекции по геометрии". Незаменимой остается книга П.К.Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" (М.: URSS, 2010).
Предлагаемая книга соответствует полугодовому курсу, который автор читал в Московском физико-техническом институте, и ставит своей целью на небольшом числе страниц изложить самые основные результаты тензорного анализа и римановой геометрии. Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями математического анализа, линейной алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При изложении материала мы подчеркиваем его связь с соответствующими разделами общих математических курсов и стараемся избегать новых терминов, не входящих в эти курсы.
Использование тензорного исчисления дает возможность доказывать многие утверждения прямыми выкладками. Мы часто опускаем эти выкладки, заменяя их пояснениями типа "легко проверить, что". Читателю рекомендуется самостоятельно провести все подобные доказательства: это будет хорошим упражнением и контролем усвоения материала.
Излагаемый материал сгруппирован так, чтобы читатель, завершив очередную главу, мог остановиться и вернуться к книге позднее. Прочтя главу первую, читатель получит достаточно полное представление о тензорной алгебре в вещественном пространстве. Глава вторая, опирающаяся на главу первую, содержит сведения об основных конструкциях тензорного анализа, используемого, как известно, в различных научных областях. Некоторые доказательства в этой главе автор, стремясь к простоте и краткости, привел, не используя принятый уровень строгости, а опираясь только на геометрическую наглядность. Глава третья содержит некоторые основные результаты теории римановых пространств; в ней используется аппарат, развитый в главах первой и второй; отбор небольшого излагаемого материала из богатой теории частично отражает вкусы автора. Некоторые факты, связывающие для римановых пространств геометрию "в малом" и геометрию "в целом", вынесены в Дополнение, которое написано схематично с доказательством только части утверждений.
Автор благодарен А.А.Асланян, А.Л.Дышко и Л.Ф.Юхно за обсуждение текста и помощь при его подготовке к печати, а также Д.В.Беклемишеву и М.М.Постникову за важные замечания.
Автор благодарен работникам издательства URSS за внимание при издании этой книги.
Третье издание книги отличается от второго уточнением некоторых формулировок и исправлением замеченных опечаток.
Издание: обложка.
Параметры: формат: 60x90/16, 128 стр.
