Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред

В настоящей монографии на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики исследуется разрешимость в слабом смысле начально-краевых задач для класса вязкоупругих сред типа Кельвина---Фойгта. Наряду с различными результатами о разрешимости рассматриваемых задач, для одной из таких моделей получены результаты о существовании минимального траекторного и глобального аттракторов и существовании решения задачи оптимального управления с обратной связью, минимизирующего заданный функционал качества. Также для удобства читателя приведены используемые в книге понятия степени Лере---Шаудера вполне непрерывных векторных полей, степени многозначных вполне непрерывных векторных полей с компактными выпуклыми значениями и теоремы о компактности вложения.

Введение

Изучение движения жидкости с давних времен является источником большого числа задач в математике. При попытках изучения даже самых простых математических моделей движения жидкости возникает большое число проблем, многие из которых не решены и по сей день.

Исторически первой научной работой в этом направлении видимо является трактат Архимеда "О плавающих телах", в котором впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок начала развиваться гидростатика, для развития которой был использован существовавший на тот момент математический аппарат геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Гюйгенса, Блеза Паскаля и Исаака Ньютона и было обусловлено созданием основ дифференциального и интегрального исчисления. Дальнейшее развитие гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа, Пуассона, Людвига Прандтля, Коши, Навье, Стокса, СенВенана, Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент математический аппарат и была собственно создана классическая гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение жидкости ими были получены различные системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость, давление и плотность жидкости как функции от времени и координат точки пространства.

В течение последних полутора столетий в основном изучались различные начально-краевые и краевые задачи для классических систем уравнений гидродинамики системы уравнений Эйлера и системы уравнений Навье Стокса. Тем не менее, вот уже на протяжении более ста лет, основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи для системы уравнений Навье Стокса при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для системы уравнений Навье Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Данный подход изложен, например, в работе Ж.Лере [117], монографиях О.А.Ладыженской [40] и Р.Темама [71] и имеющейся в них библиографии. В частности в этих работах описаны различные функциональные методы решения начально-краевых задач гидродинамики. Для всех этих методов характерен переход к обобщенной постановке задачи, при которой исходное уравнение заменяется уравнением в некотором пространстве функционалов. Решение такой задачи называют обобщенным решением. Отметим, что любое классическое решение всегда является обобщенным решением, обратное же удается установить не всегда. Переход от классической постановки задачи к обобщенной обычно обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность обобщенного решения доказывается намного проще. Например, для системы уравнений Навье Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

Основу функциональных методов составляют также априорные оценки решений. Данные оценки зачастую доказываются для точных решений и тогда существование решения показывается с помощью различных теорем о неподвижной точке или теории топологической степени. Однако, оценка не всегда доказывается для самих решений, скажем в широко распространенных методе Галёркина Фаэдо и методе конечных разностей априорная оценка получается для галеркинских или соответственно конечно-разностных приближений, а после уже показывается, что эти приближения сходятся к решению исходной задачи.

В последнее время получил развитие ещё один метод исследования, а именно аппроксимационно-топологический подход к решению такого рода задач [24], [148]. В этом случае переходят от исходной начально-краевой задачи к эквивалентным операторным уравнениям в естественных для данной задачи пространствах. При этом, если операторы в полученных уравнениях обладают достаточно хорошими свойствами, то разрешимость этих операторных уравнений доказывается на основе априорных оценок решений при помощи теории топологической степени (см., например, [73], [74]). Однако, для более сложных задач оказывается, что операторы из полученных уравнений не обладают необходимыми свойствами для прямого использования какой-либо теории разрешимости уравнений. При аппроксимационно-топологическом подходе рассматривают некоторые аппроксимационные уравнения в более гладких функциональных пространствах и обладающие в этих пространствах более лучшими свойствами чем исходные. Данные уравнения обычно получаются из исходных добавлением членов высшего порядка с малым параметром (см., например, [28], [148]) или сглаживанием нелинейных членов (см., например, [24], [98], [146], [147]) или каким-нибудь другим способом. После этого для аппроксимационных уравнений при помощи теории топологической степени доказывается существование решений во введенных более гладких функциональных пространствах и затем на основе априорных оценок этих решений в естественных для исходной задачи пространствах делается предельный переход, то есть показывается, что решения аппроксимационных уравнений сходятся в некотором смысле к решению исходных уравнений в более широком пространстве. Отметим, что аппроксимационные уравнения обладают как правило более естественными свойствами непрерывной зависимости решения от правой части и начального условия, то есть при малых изменениях начального условия и правой части уравнения мы получаем малое изменение множества решений в следующем смысле: для любой окрестности U множества решений аппроксимационного уравнения существует окрестность V правых частей и начальных условий такая, что множество решений аппроксимационных уравнений с правыми частями и начальными условиями из V содержится в U. Это свойство уравнений (см. подробнее в [22]) называется свойством корректной разрешимости уравнений и в каком то смысле является аналогом для нелинейных уравнений свойства непрерывной зависимости решений от правых частей и начальных данных. Наличие этого свойства позволяет применять для уравнений различные методы нахождения приближённых решений и исследовать их сходимость к решению этого уравнения. K сожалению, не удается установить свойство корректной разрешимости, сформулированное выше, для большинства эволюционных задач гидродинамики. По-видимому эти уравнения (в том числе и порожденные системой Навье Стокса в трёхмерном случае) не обладают свойством корректной разрешимости.

Отметим здесь, что другие подходы к исследованию разрешимости начально-краевых задач гидродинамики (метод Галёркина Фаэдо, метод теории полугрупп, итерационные методы), как правило, основываются на хороших свойствах операторов (положительная определенность, самосопряженность), определяемых линейной частью уравнения, что бывает не всегда и зависит от начальных условий. При аппроксимационно-топологическом подходе существуют более широкие возможности для исследования задач с различными краевыми условиями. В частности, этот подход позволил исследовать начально-краевые задачи с условием проскальзывания на границе без выбрасывания конвективных членов уравнений (см. [112]).

Монография состоит из введения, семи глав, трёх приложений и списка литературы.

В первой главе излагаются основные характеристики движения жидкости и описываются исследуемые математические модели.

Во второй главе предлагаются две постановки начально-краевых задач для обобщенной модели движения жидкости Кельвина Фойгта произвольного порядка L = 1, 2, В каждой из предложенных постановок доказывается существование и единственность слабого решения.

В третьей главе исследуется начально-краевая задача для модели движения жидкости Фойгта в области с зависящей от времени границей. Доказывается теорема существования и единственности слабого решения данной задачи.

В четвёртой главе изучается начально-краевая задача для модели движения слабоконцентрированных водных полимерных растворов. Получена теорема существования слабого решения изучаемой задачи.

В пятой главе доказывается существование минимального траекторного и глобального аттракторов для начально-краевой задачи для модели движения слабо концентрированных водных полимерных растворов.

В шестой главе рассматривается задача оптимального управления с обратной связью для математической модели движения слабоконцентрированных водных полимерных растворов. Доказывается существование оптимального решения, дающего минимум заданному ограниченному и полунепрерывному снизу функционалу качества.

В седьмой главе исследуется начально-краевая задача для модели движения жидкости Ривлина Эриксена второго порядка. Доказана теорема существования и единственности слабого решения при условии малости на данные задачи.

В приложении А приведена конструкция степени Лере Шаудера для вполне непрерывных векторных полей и некоторые свойства этой степени.

В приложении В излагается конструкция топологической степени для вполне непрерывных многозначных векторных полей с компактными выпуклыми значениями.

В приложении С приведены результаты Симона [137] о компактности вложения пространств, часто используемые при исследовании задач гидродинамики.

Факты, изложенные в приложениях, используются на протяжении всего изложения и приведены для удобства читателя.

При написании настоящей работы мы знакомили с отдельными главами наших коллег и учеников. Хотелось бы выразить особую признательность профессору Орлову Владимиру Петровичу, прочитавшему рукопись книги и сделавшему ряд полезных замечаний.

Издание: обложка.
Параметры: формат: 60x90/16, 416 стр.